Lieux avec module (3) - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, caractériser et tracer les ensembles suivants.

1. \(\mathscr{E}_1= \left\lbrace \text M(z) \colon \left\vert z -1+ i \right\vert \leq 3 \right\rbrace\)

2. \(\mathscr{E}_2=\left\lbrace \text M(z) \colon \left\vert z-4 \right\vert > 2 \right\rbrace\)

Solution

1. On note \(\text A\) le point du plan complexe d'affixe \(z_\text A=1-i\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) . On a :
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_1& \Longleftrightarrow\left\vert z-(1-i) \right\vert \leq 3\Longleftrightarrow\left\vert z-z_\text A \right\vert \leq 3\Longleftrightarrow \text A\text M \leq 3\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_1\) est le disque de centre \(\text A\) et de rayon \(3\) .

2. On note \(\text A\) le point du plan complexe d'affixe \(z_\text A=4\) . 
Soit `z \in \mathbb{C}` . On a : 
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_2& \Longleftrightarrow\left\vert z-z_\text A \right\vert > 2\Longleftrightarrow \text A\text M > 2\end{align*}\)
donc  \(\mathscr{E}_2\) est le plan complexe privé du disque de centre \(\text A\) et de rayon \(2\) .